Studente della Scuola Normale Superiore di Pisa, Abate si laurea in Matematica all'Università di Pisa nel 1985. Per il lavoro svolto nella tesi di laurea, nel 1986 riceve il premio di studio Benedetto Sciarra. Dopo un anno passato presso la University of Southern California, Los Angeles, e la University of California, Berkeley nel 1987 torna a Pisa, dove continua a frequentare la Scuola Normale Superiore (avendo vinto una borsa di ricerca della Fondazione Francesco Severi di Arezzo) dove consegue nel 1988 il diploma di perfezionamento in Matematica. Nel 1991 riceve il Premio Giuseppe Bartolozzi dell'Unione Matematica Italiana. Negli anni seguenti diviene ordinario di Geometria prima presso la facoltà di ingegneria dell'Università di Ancona, e poi presso la facoltà di scienze MM.FF.NN. dell'Università di Roma "Tor Vergata", ruolo che ricopre fino al 2001. Dal 2001 è ordinario di Geometria presso la facoltà di scienze MM.FF.NN. dell'Università di Pisa, dove insegna tutt'oggi. È stato invitato a trascorrere periodi di ricerca presso numerose università e centri di ricerca esteri, fra cui la University of California, Berkeley, la University of Michigan, Ann Arbor, lo Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, Rio de Janeiro, la Kyoto University, e l'Institut Mittag-Leffler, Stockholm. I suoi contributi matematici si situano soprattutto nell'ambito dei sistemi dinamici, della geometria differenziale, dell'analisi complessa e della dinamica olomorfa. Ogni anno, presso la facoltà di scienze MM.FF.NN. dell'Università di Pisa, organizza un ciclo di seminari intitolato Perché Nobel? in cui invita studiosi e ricercatori a spiegare chi ha vinto il prestigioso riconoscimento l'anno precedente e perché. L'edizione del 2008 ha dato anche origine ad un libro omonimo e ad una trasmissione radiofonica di divulgazione scientifica su Radio Bruno. È anche un divulgatore della matematica attraverso i fumetti, sceneggiando storie di matematici e "matematica realistica", oltre a racconti di altro tipo